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一些数学基本概念的梳理(数分篇)

学了这么久的数学分析,深感概念非常之多,知识漏洞百出,我觉得有必要重新来审视一下过去将近一年的学习了。

一些公式与三角函数变形

$\arcsin x + \arccos x = \pi / 2, \arctan x + \mathrm {arccot} x = \pi / 2$, 根据导数在 $ \mathbb D $ 上恒为零推得。

$\cos \alpha \cdot \cos \beta = (\cos {(\alpha – \beta)} + \cos {(\alpha + \beta})) / 2$

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = (\cos {(\alpha – \beta)} – \cos {(\alpha + \beta})) / 2$

$\sin \alpha \cdot \cos \beta = (\sin {(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha – \beta)}) / 2$

$\sin \beta \cdot \cos \alpha = (\sin {(\alpha + \beta)} – \sin{(\alpha – \beta)}) / 2$

$\arctan {(\frac {\alpha + \beta}{1 – \alpha \cdot \beta})} = \arctan \alpha + \arctan \beta$ 这个变形可以用来在一些情况简化求导的复杂性。比如 $\alpha = f(x), \beta = g(x)$

\begin{split}
&Wallis 公式\\
I_n &= \int_0^{\pi/2}\sin^nx\mathrm dx, n\in\mathbb N. \\
I_n &= 
\left \{
\begin{array}{ll}
\frac {(n-1)!!}  {n!!} \cdot \frac \pi 2 &, n = 2k \\
\frac {(n - 1)!!} {n!!}  &, n = 2k - 1
\end{array}
\right.
. k\in\mathbb N.
\end{split}

微分(Differentiation)

Unary

若 定义在区间 $\mathbb D$ 上的函数$y = f(x)$因变量的变化量 $\Delta{y}$ 与自变量的变化量 $\Delta{x}$ 之间总是满足关系:

$\Delta{y} = A\cdot{\Delta{x}} + o(\Delta{x})\cdots(\#)$

则称函数 $y = f(x)$ 是可微的。

其中 $A = f'(x)$。

微分为:$\mathrm dy = f'(x)\mathrm dx$。

如何判断一个函数在某个点$x_0$是否可微?我们对上面$(\#)$式移项,两边同除$\Delta{x}$。

得到:

$\frac{\Delta{y} – f'(x_0)\cdot{\Delta{x}}}{\Delta{x}} = o(\Delta{x})/\Delta{x}$

取极限:

$\lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\Delta{y} – f'(x_0)\cdot{\Delta{x}}}{\Delta{x}} = \lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}o(\Delta{x})/\Delta{x}$

由于$RHS = 0$,当$LHS$极限也为0时,即为可微。当然,由于一元函数的可微是可导的充要条件,我们只要证明可导,就能说明可微了。然而对于多元函数就不是如此了。

Binary or more

对于二元函数来说,全微分的形式为:

$\mathrm dz = \frac {\partial z}{\partial x} \mathrm dx + \frac {\partial z}{\partial y} \mathrm dy $。

当函数满足:

$\lim\limits_{\rho\to{0}}\frac{\Delta{z} – \frac {\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot{\Delta{x}}- \frac {\partial z}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot{\Delta{y}}}{\rho} = \lim\limits_{\rho\to{0}}o(\rho)/\rho$,其中$\rho=\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}$,则称函数在$(x_0,y_0)$可微。

两个偏导数需要用定义求得。更多元的情形以此类推。

导数(也叫微商,Derivative)

Unary

导数反映了函数沿着某一方向的变化情况。对于一元函数,$y = f(x)$的导数为:

$\mathrm dy / \mathrm dx = f'(x)$,

用定义求得其在点$(x_0,y_0)$的导数:$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} (\Delta y / \Delta x) |_{x=x_0} $。

二阶导数

其二阶导数公式推导: $ \mathrm df'(x) = d(\mathrm dy/\mathrm dx)’$。用除法公式:

$(\mathrm dy/\mathrm dx)’ = (\mathrm d^2y \mathrm dx – \mathrm d^2 x \mathrm dy)/ \mathrm dx^2$。

由于$x$是自变量,$\mathrm d^2x = 0$,故上式化为:

$ \mathrm d^2y \mathrm dx/ \mathrm dx^2 = \mathrm d^2y / \mathrm dx $

由 $ \mathrm df'(x) = f^”(x) \mathrm dx = \mathrm d^2y / \mathrm dx $,两边同除$\mathrm dx$:

$f^”(x) = \mathrm d^2y / \mathrm d x^2$

复合函数

对于映射 $ g: u \mapsto x, f: x \mapsto y $,复合映射 $f\circ g$的求导法则推导:

根据链式法则 $ y – u – x $,

$ y’_x = y’_u \cdot u’_x $

微分的形式不变性

Unary

对于函数 $y = f(x)$,作变量代换:$ u = g(x) $,则有 $y = f(g^{-1}(u))$。

记复合映射 $f\circ g^{-1} = h$。

我们下面要验证:

$\mathrm dy = f'(x) \mathrm dx = h'(u) \mathrm du.$

对于函数$y = h(u)$,两边求微分,由链式法则知:

$\mathrm dy = f'(x) \cdot {g^{-1}}'(u) \mathrm du$。

由反函数的求导法则:${g^{-1}}'(u) = \mathrm dx / \mathrm du $。

代入$RHS$:$f'(x) \cdot \mathrm du \cdot (\mathrm dx / \mathrm du) = f'(x)\mathrm dx = LHS $。

当$x$为自变量,一元函数的形式不变性对于高阶微分也是成立的。

以二阶为例:

$\mathrm d^2 y = \mathrm df'(x) = f^”(x) \mathrm dx + f'(x) \mathrm d^2 x$。

由于$x$是自变量,故:$\mathrm d^2 x = 0$。

故:$\mathrm d^2 y = f^”(x) \mathrm dx$。

又$\because x = g^{-1}(u), f'(x) \mathrm dx = h'(u) \mathrm du$

$h^”(u) = f^”(x) \cdot (\mathrm dx / \mathrm du)$。

代入上式,仍然可以得到:$f^”(x) \mathrm dx = h^”(u) \mathrm du$。

对导函数的阶数作归纳,不难证明:

$f^{(n)}(x) \mathrm dx = g^{(n)}(u) \mathrm du. (n\in \mathbb{N})$

这就是一元函数微分的形式不变性。

Taylor 公式

\begin{split}
&设f(x)在\mathbb D 上 n + 1阶(n\in\mathbb N)可导,则f(x)在x_0\in\mathbb D 的Taylor展开式是:\\
&f(x) = \Sigma_{i=0}^nf^{(i)}(x_0)/n! \cdot (x-x_0)^i + R_n(x).\\
&R_n(x)为Peano余项或Lagrange余项。\\
&Peano余项:o(x^n) \\
&Lagrange余项:\frac {f^{(n+1)}(\xi)} {(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} , \xi在x_0和x之间.\\
&或:\frac {f^{(n+1)}(\theta x)} {(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}, \theta\in(0,1);.
\end{split}

Peano 余项的证明

只需证:$\lim\limits_{x\to x_0} R_n(x) / (x-x_0)^n = 0$ .

易知:$R_n(x) = f(x) – \Sigma_{i=0}^nf^{(i)}(x_0)/n!$

$R_n(x_0) = R’_n(x_0) = R^”_n(x_0) = … = R^{(n-1)}_n(x_0) = R^{(n)}_n(x_0) = 0.$

对$\lim\limits_{x\to x_0} R_n(x) / (x-x_0)^n$ 用 n 次洛必达法则,

即得其为:$\frac {1} {n!} \cdot 0 = 0$

Lagrange 余项的证明

构造函数$G(t) = f(x) – \Sigma_{i=0}^n f^{(i)}(t), H(t) = (x – t)^{n+1}$.

\begin{split}
G'(t) &= - \sum_{i=1}^n \left[\frac {1} {k!} f^{(k+1)}(t)(x-t)^k - \frac {1} {(k - 1)!} f^{(k)}(x-t)^{k-1}\right]-f'(t)\\
&= - \sum_{i=1}^n \frac {1} {k!} f^{(k+1)}(t)(x-t)^k + \sum_{i=1}^{n-1} \frac {1} {k!} f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\\
&= -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (x-t)^{n}.\\
H'(t)&=-(n+1)(x-t)^n.
\end{split}

下面讨论 $x<x_0$ 的情况,对于 $x>x_0$,可以类似得到结论。

\begin{aligned}
&易知:\\
&G(x) = 0,
H(x) = 0.\\
&G(t), H(t) 在[x, x_0]上连续且可导,
H(t)在(x, x_0)上不为0. \\
&由Cauchy中值定理:\\
&\begin{split}
\frac {G(x_0)-G(x)} {H(x_0)-H(x)} &= G(x_0) / H(x_0)\\
&= G'(\xi) / H'(\xi)\\
&= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}.
\end{split}\\
&故有:\\
&\begin{split}
G(x_0) &= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \cdot H(x_0)\\
&= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \cdot (x-x_0)^{n+1}.
\end{split}
\end{aligned}

积分重要不等式

Hölder不等式

\begin{aligned}
\frac{1}{p}+\frac{1}{q} &= 1,
\\
\int_a^b |f(x)g(x)|\mathrm dx
&\le
\left[ \int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx \right]^{\frac{1}{p}}
 \cdot
\left[ \int_a^b|g(x)|^q\mathrm dx \right]^{\frac{1}{q}}.
\end{aligned}

首先为了证明 Hölder不等式,我们先证明下面这个不等式:

$a, b\ge 0, \frac {1} {p} + \frac {1} {q} = 1, ab \le \frac {1} {p} a^p + \frac {1} {q} b^q.$

\begin{aligned}
&证明:\\
& 当a, b中有一个为0,不等式显然成立.\\
&若a,b均大于0,取:f(x) = \ln x.\\
&注意到:f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0恒成立.\\
&f(x)是(0, +\infty)上的凸函数.\\
&由Jensen不等式:\\
&\frac{1}{p}f(a^p) + \frac{1}{q}f(b^q) \le f(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q).\\
&即:\frac{1}{p}\ln {(a^p)} + \frac{1}{q}\ln {(b^q)} \le \ln {(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q)}.\\
&即:\ln a + \ln b \le \ln {(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q)}.\\
& \ln {ab} \le\ln {(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q)}.\\
& ab \le \frac {1} {p} a^p + \frac {1} {q} b^q.
\end{aligned}

下面证明 Hölder不等式.

\begin{aligned}
&证明:\\
&当f(x) \equiv 0 或 g(x) \equiv 0, 结论显然成立.\\
&当上述条件不满足,构造辅助函数:
\phi(x) =
\frac
{|f(x)|}
{\left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]^{\frac{1}{p}}},
\psi(x) =
\frac
{|g(x)|}
{\left[\int_a^b|g(x)|^q\mathrm dx\right]^{\frac{1}{q}}}.\\
&由不等式ab \le \frac {1} {p} a^p + \frac {1} {q} b^q:\\
&\begin{split}
\phi(x)\cdot\psi(x)
&\le
\frac{1}{p}\phi^p(x) + \frac{1}{q}\psi^q(x).\\
\frac
{|f(x)\cdot g(x)|}
{\left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]^{\frac{1}{p}}\cdot\left[\int_a^b|g(x)|\mathrm dx\right]^{\frac{1}{q}}}
&\le
\frac
{|f(x)|^p}
{p\left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]}
+
\frac
{|g(x)|^q}
{q\left[\int_a^b|f(x)|^q\mathrm dx\right]}. (x\in[a, b])\\
两边在区间[a, b]上积分:\\
\frac
{\int_a^b|f(x)\cdot g(x)| \mathrm dx}
{\left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]^{\frac{1}{p}}\cdot\left[\int_a^b|g(x)|^q\mathrm dx\right]^{\frac{1}{q}}}
&\le
\frac
{\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx}
{p\left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]}
+
\frac
{\int_a^b|g(x)|^q\mathrm dx}
{q\left[\int_a^b|f(x)|^q\mathrm dx\right]}\\
&= \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\\
&= 1.
\end{split}\\
&两边同乘
\left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]^{\frac{1}{p}}\cdot\left[\int_a^b|g(x)|^q\mathrm dx\right]^{\frac{1}{q}},\\
&即得:\\
&\int_a^b |f(x)g(x)|dx
\le
\left[ \int_a^b|f(x)|^pdx \right]^{\frac{1}{p}}
\cdot
\left[ \int_a^b|g(x)|^qdx \right]^{\frac{1}{q}}.
\end{aligned}
\begin{aligned}
&Hölder不等式的离散形式:\\
&\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1,\\
&\begin{split}
\sum_{i=1}^n |x_i\cdot y_i|
&\le
\left( \sum_{i=1}^n|x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}
\cdot
\left( \sum_{i=1}^n|y_i|^q \right)^{\frac{1}{q}}.
\end{split}\\
&当p=q=2, x_i = a_i^2,y_i=b_i^2,即得 Cauchy不等式:\\
&\left(\sum_{i=1}^n a_i\cdot b_i\right)^2
\le
\left( \sum_{i=1}^na_i^2 \right)
\cdot
\left( \sum_{i=1}^nb_i^2 \right).
\end{aligned}

Schwarz不等式

\left[\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx\right]^2
\le
\int_a^bf^2(x)\mathrm dx
\cdot
\int_a^bg^2(x)\mathrm dx.

构造二次函数,用 $\Delta \ge 0$来证明。 或者直接用p=q=2的Hölder不等式。该不等式实质上是对Cauchy不等式的积分形式推广。

\begin{aligned}
&证明:\\
&构造:\\
&\int_a^b[t\cdot f(x)+g(x)]^2\mathrm dx\ge0.\\&
即:\\
&t^2\int_a^b f^2(x)\mathrm dx+2t\int_a^b f(x)\cdot g(x)\mathrm dx+\int_a^b g^2(x)\mathrm dx
\ge
0.\\
&该二次函数大于等于零恒成立,则\Delta\le0.\\
&即4\left[\int_a^b f(x)\cdot g(x)\mathrm dx\right]^2-4\int_a^b f^2(x)\mathrm dx\cdot \int_a^b g^2(x)\mathrm dx\le0.\\
&移项即得Schwarz不等式.
\end{aligned}
\begin{aligned}
&Schwarz不等式的向量形式\\
&\left< \boldsymbol a, \boldsymbol b\right>^2
\le
\left< \boldsymbol a, \boldsymbol a \right>
\left< \boldsymbol b, \boldsymbol b \right>
\end{aligned}

Minkowski不等式

\left\{
\int_a^b
\left[
f(x)+g(x)
\right]
^2
\mathrm dx
\right\}
^{1/2}
\le
\left[
\int_a^bf^2(x)\mathrm dx
\right]
^{1/2}
+
\left[
\int_a^bg^2(x)\mathrm dx
\right]
^{1/2}.
\begin{aligned}
&证明:\\
&要证:\left\{
\int_a^b
\left[
f(x)+g(x)
\right]
^2
\mathrm dx
\right\}
^{1/2}
\le
\left[
\int_a^bf^2(x)\mathrm dx
\right]
^{1/2}
+
\left[
\int_a^bg^2(x)\mathrm dx
\right]
^{1/2}.\\
&即证:\\
&\int_a^b
\left[
f(x)+g(x)
\right]
^2
\mathrm dx
\le
\int_a^b f^2(x)\mathrm dx
+
\int_a^b g^2(x)\mathrm dx
+
2
\left[
\int_a^b f^2(x)\mathrm dx
\cdot
\int_a^b g^2(x)\mathrm dx
\right]^{1/2}.\\
&即证:\\
&\begin{split}
\int_a^bf(x)\cdot g(x)\mathrm dx
&\le
\left[
\int_a^b f^2(x)\mathrm dx
\cdot
\int_a^b g^2(x)\mathrm dx
\right]^{1/2}\\
&\le
\left[
\int_a^b f^2(x)\mathrm dx
+
\int_a^b g^2(x)\mathrm dx
\right]/2\\
&= 
\left\{
\int_a^b
\left[
f^2(x)
+
g^2(x)
\right]
\mathrm dx
\right\}/2.
\end{split}\\
&我们之前证明过不等式ab \le \frac {1} {p} a^p + \frac {1} {q} b^q. (a, b \ge 0)\\
&当p=q=2时,我们容易知道,即使a,b取负数,该不等式仍然成立.\\
&于是我们用a=f(x), b=g(x)对上述不等式作代换.\\
&f(x)\cdot g(x)
\le
[f^2(x)
+
g^2(x)]/2.\\
&两边同时在区间[a, b]上积分.\\
&于是便得到我们要证明的式子.\\
&(或者直接套Hölder不等式,更简单)
\end{aligned}

反常积分

Abel判别法

\begin{aligned}
&若f(x)在[a, +\infty)上单调有界,\int_a^bg(x)\mathrm dx收敛,则\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx收敛.\\
&若在无穷区间上,b=+\infty(下同)\\
\end{aligned}

Dirichlet判别法

\begin{aligned}
&若F(A)=\int_a^Af(x) \mathrm dx在[a, b)上有界,g(x)在[a,b)上单调,且\lim_{x\to b}g(x)=0,\\
&则\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx收敛.
\end{aligned}

A little learning is a dangerous thing.

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shiloh
shiloh
1 月 前

数学学院 院霸?

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