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数分高代好题选(1)

\begin{aligned}
&1. 设\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x收敛,且\lim_{x\to+\infty}f(x)=A,证明:A=0.\\
\\
&证明:\\
&不妨设A>0.\\
&\because \lim_{x\to+\infty}f(x)=A,故\exists \epsilon_0=\frac{A}{2}>0,X>0,s.t.\forall x>X,f(x)-A>-\frac{A}{2}.\\
&即:f(x)>\frac{A}{2}.\\
&取b>c>X>a,\int_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\int_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+\int_c^{b}f(x)\mathrm{d}x.\\
&由介值性:\int_c^{b}f(x)\mathrm{d}x>\frac{A}{2}(b-c).\\
&由于保序性,\lim_{x\to+\infty}\int_c^{b}f(x)\mathrm{d}x,在A\ne0时发散.\\
&类似可证,A<0时,原积分也发散,与题设不符.\\
&故而A=0.
\end{aligned}
\begin{aligned}
&2.定义在[0, +\infty]上的函数f(x), g(x)满足:\\
&(1)f(x)非负连续且\int_0^{+\infty} f(x)\mathrm dx收敛;\\
&(2)\int_0^{+\infty} g'(x)\mathrm dx收敛.\\
&试证明:\int_0^{+\infty} f(x)g(x)\mathrm dx收敛.\\
&\\
&证明:\\
&令F(x)=\int_0^{x} f(t)\mathrm dt.\\
&\begin{split}
I=\int_0^{+\infty} f(x)g(x)\mathrm dx&=\int_0^{+\infty} g(x)\mathrm dF(x)\\
&=[g(x)F(x)]_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty} F(x)g'(x)\mathrm dx.\\
\end{split}\\
&由于\int_0^{+\infty} g'(x)\mathrm dx收敛,由\text{Newton-Leibniz公式},\lim_{x\to+\infty}g(x)收敛.\\
&而由题设亦可得,\lim_{x\to+\infty}F(x)收敛.故而前一项收敛.\\
&\\
&考察后一项:\int_0^{+\infty} F(x)g'(x)\mathrm dx.\\
&\because F'(x)=f(x)\ge0,故而F(x)单调增加(若f(x)\equiv0,F(x)为常值函数,那么收敛性显而易见).\\
&而\lim_{x_\to+\infty}F(x)收敛,从而F(x)单调增加有上界,而积分\int_0^{+\infty} g'(x)\mathrm dx收敛.\\
&于是由\text {Abel判别法},\int_0^{+\infty} f(x)g(x)\mathrm dx收敛.

\end{aligned}
\begin{aligned}
&3.求反常积分\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{\tan{x}}}\mathrm dx.\\
&\\
&解:\\
&\begin{split}
I&=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{\tan{x}}}\mathrm dx\\
&=\int_0^{\pi/2}\sqrt\frac{\cos x}{\sin x}\mathrm dx\\
&=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} \mathrm dx\\
&=\frac{1}{2} \int_0^{\pi/2}\frac{\cos x -\sin x + \cos x + \sin x}{\sqrt{\sin x \cos x}} \mathrm dx\\
&=\frac{1}{2}\left(\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x -\sin x}{\sqrt{\sin x \cos x}} \mathrm dx + \int_0^{\pi/2}\frac{\cos x + \sin x}{\sqrt{\sin x \cos x}} \mathrm dx\right)\\
&=\frac{\sqrt 2}{2}\left(\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm d(\sin x + \cos x) }{\sqrt{(\sin x + \cos x)^2 -1}}+ \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm d(\sin x - \cos x)}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}}\right)\\
&=\frac{\sqrt 2}{2}\left\{\left[\ln{\left|\sin x + \cos x+\sqrt{(\sin x + \cos x)^2 - 1}\right|}\right]_0^{\pi/2}+
\left[\arcsin(\sin x - \cos x)\right]_0^{\pi/2}\right\}\\
&=\frac{\sqrt 2}{2}\pi.
\end{split}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
&4.讨论反常积分的敛散性\int_0^{+\infty}\frac{\sin bx}{x^\lambda}\mathrm dx(b\ne0),\lambda取何值时绝对收敛或条件收敛.\\
&\\
&1°x\to0_+, \frac{\sin bx}{x^\lambda} \sim b\frac{1}{x^{\lambda-1}},对于包含0这一点的瑕积分,\lambda-1<1时积分值收敛,也就是\lambda<2.\\
&x\to+\infty,\left|\frac{\sin bx}{x^\lambda}\right|<\left|\frac{1}{x^\lambda}\right|,当\lambda>1,[a, +\infty)(a>0)上积分值收敛并且绝对收敛.\\
&故而当\lambda\in(1, 2),该反常积分绝对收敛.\\
&\\
&2°当\lambda\in(0,1],x^{\frac{\lambda+1}{2}}\left|\frac{\sin bx}{x^\lambda}\right|=x^{\frac{1-\lambda}{2}}\left|\sin bx\right|,\lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1-\lambda}{2}}\left|\sin bx\right|=+\infty.\\
&由\text{Cauchy判别法}可知,该绝对值的积分发散.\\
&而F(x)=\int_0^{x}\sin bx\mathrm dx在[0, +\infty]上有界,\frac{1}{x^\lambda}在(0, +\infty)上单调减少且\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^\lambda}=0,\\
&由\text{Dirichlet判别法},该积分收敛.故此时该积分条件收敛.\\
&\\
&3°当\lambda\ge2或\lambda\le0时,该积分发散.
\end{aligned}
\begin{aligned}
&5. 讨论反常积分\int_1^{+\infty}\frac{\ln \ln x}{\ln x}\sin x\mathrm dx的敛散性.\\
&\\
&首先令f(x)=\frac{\ln \ln x}{\ln x}, G(A)=\int_1^{A}\sin x \mathrm dx.\\
&容易知道G(A)在[1, +\infty)上有界.\\
&f'(x)=\frac{1-\ln\ln x}{x\ln x}<0在x>e^e时恒成立,即f(x)在(e^e,+\infty)上单调递减.\\
&而\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\ln x}{\ln x}=\frac{1}{\ln x}=0.\\
&故而由\text{Dirichlet判别法},该积分收敛.\\
&\\
&下面讨论其是否绝对收敛.\\
&令\ln x=t,则原积分化为\int_{\ln 2}^{+\infty}\frac{\ln t}{t}e^t\sin{e^t}\mathrm dt.\\
&\lim_{t\to+\infty}t\cdot\left|\frac{\ln t}{t}e^t\sin{e^t}\right|=\lim_{x\to+\infty}\left|e^t\ln t\sin e^t\right|\in[0, +\infty].\\
&故而其并非绝对收敛.其条件收敛.
\end{aligned}
\begin{aligned}
&6. 讨论\int_1^{+\infty}\frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p}\mathrm dx的敛散性.\\
&提示:\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)=\sin x\cos \frac{1}{x} + \cos x \sin \frac{1}{x}.\\
&\frac{\cos \frac{1}{x}}{x^p}, \frac{\sin \frac{1}{x}}{x^p}在x足够大的时候均为单调函数且当p>0时x\to+\infty时极限为0,\\
&而\int_1^{x}\sin x\mathrm dx, \int_1^{x}\cos x\mathrm dx在[1, +\infty)上为有界函数.\\
&此时已经满足了\text{Dirichlet判别法}的条件.\\
&\\
&容易知道p\le0时原积分发散, 0 < p \le 1时原积分条件收敛,p>1时原积分绝对收敛.\\
\end{aligned}

A little learning is a dangerous thing.

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