学了这么久的数学分析,深感概念非常之多,知识漏洞百出,我觉得有必要重新来审视一下过去将近一年的学习了。
一些公式与三角函数变形
$\arcsin x + \arccos x = \pi / 2, \arctan x + \mathrm {arccot} x = \pi / 2$, 根据导数在 $ \mathbb D $ 上恒为零推得。
$\cos \alpha \cdot \cos \beta = (\cos {(\alpha – \beta)} + \cos {(\alpha + \beta})) / 2$
$\sin \alpha \cdot \sin \beta = (\cos {(\alpha – \beta)} – \cos {(\alpha + \beta})) / 2$
$\sin \alpha \cdot \cos \beta = (\sin {(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha – \beta)}) / 2$
$\sin \beta \cdot \cos \alpha = (\sin {(\alpha + \beta)} – \sin{(\alpha – \beta)}) / 2$
$\arctan {(\frac {\alpha + \beta}{1 – \alpha \cdot \beta})} = \arctan \alpha + \arctan \beta$ 这个变形可以用来在一些情况简化求导的复杂性。比如 $\alpha = f(x), \beta = g(x)$
\begin{split} &Wallis 公式\\ I_n &= \int_0^{\pi/2}\sin^nx\mathrm dx, n\in\mathbb N. \\ I_n &= \left \{ \begin{array}{ll} \frac {(n-1)!!} {n!!} \cdot \frac \pi 2 &, n = 2k \\ \frac {(n - 1)!!} {n!!} &, n = 2k - 1 \end{array} \right. . k\in\mathbb N. \end{split}
Differentiation
Unary
若 定义在区间 $\mathbb D$ 上的函数$y = f(x)$因变量的变化量 $\Delta{y}$ 与自变量的变化量 $\Delta{x}$ 之间总是满足关系:
$\Delta{y} = A\cdot{\Delta{x}} + o(\Delta{x})\cdots(\#)$
则称函数 $y = f(x)$ 是可微的。
其中 $A = f'(x)$。
微分为:$\mathrm dy = f'(x)\mathrm dx$。
如何判断一个函数在某个点$x_0$是否可微?我们对上面$(\#)$式移项,两边同除$\Delta{x}$。
得到:
$\frac{\Delta{y} – f'(x_0)\cdot{\Delta{x}}}{\Delta{x}} = o(\Delta{x})/\Delta{x}$
取极限:
$\lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\Delta{y} – f'(x_0)\cdot{\Delta{x}}}{\Delta{x}} = \lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}o(\Delta{x})/\Delta{x}$
由于$RHS = 0$,当$LHS$极限也为0时,即为可微。当然,由于一元函数的可微是可导的充要条件,我们只要证明可导,就能说明可微了。然而对于多元函数就不是如此了。
Binary or more
对于二元函数来说,全微分的形式为:
$\mathrm dz = \frac {\partial z}{\partial x} \mathrm dx + \frac {\partial z}{\partial y} \mathrm dy $。
当函数满足:
$\lim\limits_{\rho\to{0}}\frac{\Delta{z} – \frac {\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot{\Delta{x}}- \frac {\partial z}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot{\Delta{y}}}{\rho} = \lim\limits_{\rho\to{0}}o(\rho)/\rho$,其中$\rho=\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}$,则称函数在$(x_0,y_0)$可微。
两个偏导数需要用定义求得。更多元的情形以此类推。
Derivative
Unary
导数反映了函数沿着某一方向的变化情况。对于一元函数,$y = f(x)$的导数为:
$\mathrm dy / \mathrm dx = f'(x)$,
用定义求得其在点$(x_0,y_0)$的导数:$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} (\Delta y / \Delta x) |_{x=x_0} $。
二阶导数
其二阶导数公式推导: $ \mathrm df'(x) = d(\mathrm dy/\mathrm dx)’$。用除法公式:
$(\mathrm dy/\mathrm dx)’ = (\mathrm d^2y \mathrm dx – \mathrm d^2 x \mathrm dy)/ \mathrm dx^2$。
由于$x$是自变量,$\mathrm d^2x = 0$,故上式化为:
$ \mathrm d^2y \mathrm dx/ \mathrm dx^2 = \mathrm d^2y / \mathrm dx $
由 $ \mathrm df'(x) = f^”(x) \mathrm dx = \mathrm d^2y / \mathrm dx $,两边同除$\mathrm dx$:
$f^”(x) = \mathrm d^2y / \mathrm d x^2$
复合函数
对于映射 $ g: u \mapsto x, f: x \mapsto y $,复合映射 $f\circ g$的求导法则推导:
根据链式法则 $ y – u – x $,
$ y’_x = y’_u \cdot u’_x $
微分的形式不变性
Unary
对于函数 $y = f(x)$,作变量代换:$ u = g(x) $,则有 $y = f(g^{-1}(u))$。
记复合映射 $f\circ g^{-1} = h$。
我们下面要验证:
$\mathrm dy = f'(x) \mathrm dx = h'(u) \mathrm du.$
对于函数$y = h(u)$,两边求微分,由链式法则知:
$\mathrm dy = f'(x) \cdot {g^{-1}}'(u) \mathrm du$。
由反函数的求导法则:${g^{-1}}'(u) = \mathrm dx / \mathrm du $。
代入$RHS$:$f'(x) \cdot \mathrm du \cdot (\mathrm dx / \mathrm du) = f'(x)\mathrm dx = LHS $。
当$x$为自变量,一元函数的形式不变性对于高阶微分也是成立的。
以二阶为例:
$\mathrm d^2 y = \mathrm df'(x) = f^”(x) \mathrm dx + f'(x) \mathrm d^2 x$。
由于$x$是自变量,故:$\mathrm d^2 x = 0$。
故:$\mathrm d^2 y = f^”(x) \mathrm dx$。
又$\because x = g^{-1}(u), f'(x) \mathrm dx = h'(u) \mathrm du$
$h^”(u) = f^”(x) \cdot (\mathrm dx / \mathrm du)$。
代入上式,仍然可以得到:$f^”(x) \mathrm dx = h^”(u) \mathrm du$。
对导函数的阶数作归纳,不难证明:
$f^{(n)}(x) \mathrm dx = g^{(n)}(u) \mathrm du. (n\in \mathbb{N})$
这就是一元函数微分的形式不变性。
Taylor 公式
\begin{split} &设f(x)在\mathbb D 上 n + 1阶(n\in\mathbb N)可导,则f(x)在x_0\in\mathbb D 的Taylor展开式是:\\ &f(x) = \Sigma_{i=0}^nf^{(i)}(x_0)/n! \cdot (x-x_0)^i + R_n(x).\\ &R_n(x)为Peano余项或Lagrange余项。\\ &Peano余项:o(x^n) \\ &Lagrange余项:\frac {f^{(n+1)}(\xi)} {(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} , \xi在x_0和x之间.\\ &或:\frac {f^{(n+1)}(\theta x)} {(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}, \theta\in(0,1);. \end{split}
Peano 余项的证明
只需证:$\lim\limits_{x\to x_0} R_n(x) / (x-x_0)^n = 0$ .
易知:$R_n(x) = f(x) – \Sigma_{i=0}^nf^{(i)}(x_0)/n!$
$R_n(x_0) = R’_n(x_0) = R^”_n(x_0) = … = R^{(n-1)}_n(x_0) = R^{(n)}_n(x_0) = 0.$
对$\lim\limits_{x\to x_0} R_n(x) / (x-x_0)^n$ 用 n 次洛必达法则,
即得其为:$\frac {1} {n!} \cdot 0 = 0$
Lagrange 余项的证明
构造函数$G(t) = f(x) – \Sigma_{i=0}^n f^{(i)}(t), H(t) = (x – t)^{n+1}$.
\begin{split} G'(t) &= - \sum_{i=1}^n \left[\frac {1} {k!} f^{(k+1)}(t)(x-t)^k - \frac {1} {(k - 1)!} f^{(k)}(x-t)^{k-1}\right]-f'(t)\\ &= - \sum_{i=1}^n \frac {1} {k!} f^{(k+1)}(t)(x-t)^k + \sum_{i=1}^{n-1} \frac {1} {k!} f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\\ &= -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (x-t)^{n}.\\ H'(t)&=-(n+1)(x-t)^n. \end{split}
下面讨论 $x<x_0$ 的情况,对于 $x>x_0$,可以类似得到结论。
\begin{aligned} &易知:\\ &G(x) = 0, H(x) = 0.\\ &G(t), H(t) 在[x, x_0]上连续且可导, H(t)在(x, x_0)上不为0. \\ &由Cauchy中值定理:\\ &\begin{split} \frac {G(x_0)-G(x)} {H(x_0)-H(x)} &= G(x_0) / H(x_0)\\ &= G'(\xi) / H'(\xi)\\ &= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}. \end{split}\\ &故有:\\ &\begin{split} G(x_0) &= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \cdot H(x_0)\\ &= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} \cdot (x-x_0)^{n+1}. \end{split} \end{aligned}
积分重要不等式
Hölder不等式
\begin{aligned} \frac{1}{p}+\frac{1}{q} &= 1, \\ \int_a^b |f(x)g(x)|\mathrm dx &\le \left[ \int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx \right]^{\frac{1}{p}} \cdot \left[ \int_a^b|g(x)|^q\mathrm dx \right]^{\frac{1}{q}}. \end{aligned}
首先为了证明 Hölder不等式,我们先证明下面这个不等式:
$a, b\ge 0, \frac {1} {p} + \frac {1} {q} = 1, ab \le \frac {1} {p} a^p + \frac {1} {q} b^q.$
\begin{aligned} &证明:\\ & 当a, b中有一个为0,不等式显然成立.\\ &若a,b均大于0,取:f(x) = \ln x.\\ &注意到:f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0恒成立.\\ &f(x)是(0, +\infty)上的凸函数.\\ &由Jensen不等式:\\ &\frac{1}{p}f(a^p) + \frac{1}{q}f(b^q) \le f(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q).\\ &即:\frac{1}{p}\ln {(a^p)} + \frac{1}{q}\ln {(b^q)} \le \ln {(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q)}.\\ &即:\ln a + \ln b \le \ln {(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q)}.\\ & \ln {ab} \le\ln {(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q)}.\\ & ab \le \frac {1} {p} a^p + \frac {1} {q} b^q. \end{aligned}
下面证明 Hölder不等式.
\begin{aligned} &证明:\\ &当f(x) \equiv 0 或 g(x) \equiv 0, 结论显然成立.\\ &当上述条件不满足,构造辅助函数: \phi(x) = \frac {|f(x)|} {\left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]^{\frac{1}{p}}}, \psi(x) = \frac {|g(x)|} {\left[\int_a^b|g(x)|^q\mathrm dx\right]^{\frac{1}{q}}}.\\ &由不等式ab \le \frac {1} {p} a^p + \frac {1} {q} b^q:\\ &\begin{split} \phi(x)\cdot\psi(x) &\le \frac{1}{p}\phi^p(x) + \frac{1}{q}\psi^q(x).\\ \frac {|f(x)\cdot g(x)|} {\left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]^{\frac{1}{p}}\cdot\left[\int_a^b|g(x)|\mathrm dx\right]^{\frac{1}{q}}} &\le \frac {|f(x)|^p} {p\left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]} + \frac {|g(x)|^q} {q\left[\int_a^b|f(x)|^q\mathrm dx\right]}. (x\in[a, b])\\ 两边在区间[a, b]上积分:\\ \frac {\int_a^b|f(x)\cdot g(x)| \mathrm dx} {\left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]^{\frac{1}{p}}\cdot\left[\int_a^b|g(x)|^q\mathrm dx\right]^{\frac{1}{q}}} &\le \frac {\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx} {p\left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]} + \frac {\int_a^b|g(x)|^q\mathrm dx} {q\left[\int_a^b|f(x)|^q\mathrm dx\right]}\\ &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\\ &= 1. \end{split}\\ &两边同乘 \left[\int_a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right]^{\frac{1}{p}}\cdot\left[\int_a^b|g(x)|^q\mathrm dx\right]^{\frac{1}{q}},\\ &即得:\\ &\int_a^b |f(x)g(x)|dx \le \left[ \int_a^b|f(x)|^pdx \right]^{\frac{1}{p}} \cdot \left[ \int_a^b|g(x)|^qdx \right]^{\frac{1}{q}}. \end{aligned}
\begin{aligned} &Hölder不等式的离散形式:\\ &\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1,\\ &\begin{split} \sum_{i=1}^n |x_i\cdot y_i| &\le \left( \sum_{i=1}^n|x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( \sum_{i=1}^n|y_i|^q \right)^{\frac{1}{q}}. \end{split}\\ &当p=q=2, x_i = a_i^2,y_i=b_i^2,即得 Cauchy不等式:\\ &\left(\sum_{i=1}^n a_i\cdot b_i\right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^na_i^2 \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^nb_i^2 \right). \end{aligned}
Schwarz不等式
\left[\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx\right]^2 \le \int_a^bf^2(x)\mathrm dx \cdot \int_a^bg^2(x)\mathrm dx.
构造二次函数,用 $\Delta \ge 0$来证明。 或者直接用p=q=2的Hölder不等式。该不等式实质上是对Cauchy不等式的积分形式推广。
\begin{aligned} &证明:\\ &构造:\\ &\int_a^b[t\cdot f(x)+g(x)]^2\mathrm dx\ge0.\\& 即:\\ &t^2\int_a^b f^2(x)\mathrm dx+2t\int_a^b f(x)\cdot g(x)\mathrm dx+\int_a^b g^2(x)\mathrm dx \ge 0.\\ &该二次函数大于等于零恒成立,则\Delta\le0.\\ &即4\left[\int_a^b f(x)\cdot g(x)\mathrm dx\right]^2-4\int_a^b f^2(x)\mathrm dx\cdot \int_a^b g^2(x)\mathrm dx\le0.\\ &移项即得Schwarz不等式. \end{aligned}
\begin{aligned} &Schwarz不等式的向量形式\\ &\left< \boldsymbol a, \boldsymbol b\right>^2 \le \left< \boldsymbol a, \boldsymbol a \right> \left< \boldsymbol b, \boldsymbol b \right> \end{aligned}
Minkowski不等式
\left\{ \int_a^b \left[ f(x)+g(x) \right] ^2 \mathrm dx \right\} ^{1/2} \le \left[ \int_a^bf^2(x)\mathrm dx \right] ^{1/2} + \left[ \int_a^bg^2(x)\mathrm dx \right] ^{1/2}.
\begin{aligned} &证明:\\ &要证:\left\{ \int_a^b \left[ f(x)+g(x) \right] ^2 \mathrm dx \right\} ^{1/2} \le \left[ \int_a^bf^2(x)\mathrm dx \right] ^{1/2} + \left[ \int_a^bg^2(x)\mathrm dx \right] ^{1/2}.\\ &即证:\\ &\int_a^b \left[ f(x)+g(x) \right] ^2 \mathrm dx \le \int_a^b f^2(x)\mathrm dx + \int_a^b g^2(x)\mathrm dx + 2 \left[ \int_a^b f^2(x)\mathrm dx \cdot \int_a^b g^2(x)\mathrm dx \right]^{1/2}.\\ &即证:\\ &\begin{split} \int_a^bf(x)\cdot g(x)\mathrm dx &\le \left[ \int_a^b f^2(x)\mathrm dx \cdot \int_a^b g^2(x)\mathrm dx \right]^{1/2}\\ &\le \left[ \int_a^b f^2(x)\mathrm dx + \int_a^b g^2(x)\mathrm dx \right]/2\\ &= \left\{ \int_a^b \left[ f^2(x) + g^2(x) \right] \mathrm dx \right\}/2. \end{split}\\ &我们之前证明过不等式ab \le \frac {1} {p} a^p + \frac {1} {q} b^q. (a, b \ge 0)\\ &当p=q=2时,我们容易知道,即使a,b取负数,该不等式仍然成立.\\ &于是我们用a=f(x), b=g(x)对上述不等式作代换.\\ &f(x)\cdot g(x) \le [f^2(x) + g^2(x)]/2.\\ &两边同时在区间[a, b]上积分.\\ &于是便得到我们要证明的式子.\\ &(或者直接套Hölder不等式,更简单) \end{aligned}
反常积分
Abel判别法
\begin{aligned} &若f(x)在[a, +\infty)上单调有界,\int_a^bg(x)\mathrm dx收敛,则\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx收敛.\\ &若在无穷区间上,b=+\infty(下同)\\ \end{aligned}
Dirichlet判别法
\begin{aligned} &若F(A)=\int_a^Af(x) \mathrm dx在[a, b)上有界,g(x)在[a,b)上单调,且\lim_{x\to b}g(x)=0,\\ &则\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx收敛. \end{aligned}
Field Theory
场一般分为数量场和矢量场,场定义在$\Omega \in \mathbb {R^3}$上,对于\omega上的每一个坐标都有一个对应的函数值.
梯度(gradient)
\begin{aligned} &grad {f}=\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x} \vec i+\frac{\partial f}{\partial y} \vec j+\frac{\partial f}{\partial z} \vec k.\\ &我们想到方向导数,对\vec l=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma), \\ &\frac {\partial f}{\partial l}=grad f \cdot \vec l = ||grad f||\cos\left< grad f, \vec l\right> \le ||grad f||\\ &梯度方向是函数变化最快的方向.\\ &大学物理中,电势梯度大小等于电场强度.\\ &(联想到中学时的结论沿电场线方向电势降低最快)\\ \end{aligned}
通量(flux) 和 散度(divergence)
\begin{aligned} &不可压缩流体的速度场\vec v(x, y, z)=v_x \vec i + v_y \vec j + v_z \vec k. \\ &(这里并不是求偏导,单单指分量)\\ &\Sigma 上 \iint_\Sigma \vec v(x,y,z)\mathrm d\vec S 为通过\Sigma的流量. \\ &记\Phi = \iint_\Sigma \vec v(x,y,z)\mathrm d\vec S.\\ &\Phi>0,说明\Sigma内部有“源”.\\ &\Phi<0,说明\Sigma内部有“汇”.\\ &\Phi=0,说明\Sigma内部“源”和“汇”抵消.\\ &我们如何确定哪一个点上有“源”,哪一个点上有“汇”?\\ &\forall M(x,y,z) \in \Omega, \Sigma 闭曲面,内部有M,\Sigma内部区域记为V,mV表示V的体积.\\ &\Phi = \iint_\Sigma \vec v(x,y,z)\mathrm d\vec S,考虑\lim_{V\to M} \frac{\Phi}{mV}.\\ & \begin{split} \Phi &= \iint_\Sigma \vec v(x,y,z)\mathrm d\vec S \\ &= \iint_ \Sigma v_x \mathrm dy \mathrm dz + v_y \mathrm dz \mathrm dx + v_z \mathrm dx \mathrm dy\\ &由高斯公式:\\ &=\iiint_V (\frac {\partial v_x}{\partial x} + \frac {\partial v_y}{\partial y} + \frac {\partial v_z}{\partial z}) \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\\ &= (\frac {\partial v_x}{\partial x} + \frac {\partial v_y}{\partial y} + \frac {\partial v_z}{\partial z})\iiint_V\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\\ &= \left.(\frac {\partial v_x}{\partial x} + \frac {\partial v_y}{\partial y} + \frac {\partial v_z}{\partial z})\right|_{\widetilde {M}} mV, \widetilde M \in V.\\ \end{split}\\ &\lim_{V\to M} \frac{\Phi}{mV} = \left.(\frac {\partial v_x}{\partial x} + \frac {\partial v_y}{\partial y} + \frac {\partial v_z}{\partial z})\right|_{M} \end{aligned}
通量与散度的定义
\begin{aligned} &通量:\Phi = \iint_\Sigma \vec a\mathrm d\vec S.\\ &散度:div \vec a = \left.(\frac {\partial v_x}{\partial x} + \frac {\partial v_y}{\partial y} + \frac {\partial v_z}{\partial z})\right|_{M}, \vec a在点M的散度.\\ &\text{Gauss公式}的另一种写法:\iint_\Sigma\vec a \mathrm d\vec S=\iiint_V div\vec a\mathrm dx \mathrm dy\mathrm dz.\\ &若div\vec a = 0, \forall (x, y, z) \in \Omega.\\ &梯度是矢量场,散度是数量场. \end{aligned}
数学学院 院霸?
我是你的野爹