特征多项式的小结论
\begin{aligned} 1.&由于f(\lambda)=|\lambda E-A|, \\ &f(\lambda) = \lambda^n-(a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\dots+(-1)^n|A|.\\ &其中a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}记作tr(A).\\ &这个结论的\lambda^n和\lambda^{n-1}项前面的系数用行列式主对角线展开得到,最后一项令\lambda=0即得.\\ 2.&若A的特征值是\lambda,则f(A)的特征值是f(\lambda). \end{aligned}
Hamilton-Cayley 定理
\begin{aligned} &矩阵A的特征多项式为f(\lambda),则f(A) = O.\\ &\begin{split} 证明:\\ &设 B(\lambda)为\lambda E-A的伴随矩阵. 则B(\lambda)\cdot(\lambda E-A) = f(\lambda)\cdot E.\\ &因为B(\lambda)中全部元素都是\lambda E-A的代数余子式,故其中\lambda的次数不大于n-1.\\ &\begin{split} 故B(\lambda)&可以写作矩阵多项式:\\ &B(\lambda)=\lambda^{n-1}B_0+\lambda^{n-2}B_1+\dots +\lambda B_{n-1}+B_n. \end{split}\\ &\begin{split} 而f(\lambda)&可以写作:\\ &f(\lambda)=a_0\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\dots+a_n\lambda+a_{n+1}.\\ \end{split}\\ &\begin{split} 考察B&(\lambda)\cdot(\lambda E-A)=\\ &\lambda^nB_0+\lambda^{n-1}(B_1-B_0\cdot A)+\dots+\lambda(B_{n-1}-B_n\cdot A)+B_n.\\ \end{split}\\ &\begin{split} 而f(\lambda)&\cdot E=\\ &\lambda^{n}a_0E+\lambda^{n-1}a_1E+...+\lambda a_nE+a_{n+1}E.\\ \end{split}\\ &\left\{ \begin{array} {lll} B_0 &= a_0E,\\ B_1-B_0\cdot A &= a_1E,\\ \dots\\ B_n &= a_{n+1}E. \end{array}\\ \right.\\ &在上面各式中分别右乘A^n, A^{n-1}, \dots, A, E.\\ &\left\{ \begin{array} {lll} B_0\cdot A^n &= a_0A^n,\\ B_1\cdot A^{n-1}-B_0\cdot A^n &= a_1A^{n-1},\\ \dots\\ B_n &= a_{n+1}E. \end{array}\\ \right.\\ &连加即得f(A)=O. \end{split} \end{aligned}
不变子空间
\begin{aligned} &W是V的子空间,对于V上的线性变换\sigma,若\sigma W\in W,则称W是\sigma-不变子空间.\\ &\sigma-不变子空间的性质:\\ &1) 平凡子空间(\text{Trivial Subspace}):\{\textbf 0\} 和V. \\ &(1-1)\because \sigma\mathbf 0 = \mathbf 0 \in \{\mathbf 0\}. \\ &\therefore \{\mathbf0\} 是 \sigma-不变子空间.\\ &(1-2)\forall \alpha \in V, \because\sigma\alpha\in V,\therefore V是\sigma-不变子空间.\\ &2)\sigma V和 \ker \sigma为\sigma-不变子空间.\\ &(2-1) \forall \alpha=\sigma\beta \in \sigma V, \sigma\alpha=\sigma(\sigma\beta)\in\sigma V.\sigma V在\sigma下的像仍在\sigma V下.\therefore \sigma V是\sigma-不变子空间.\\ &(2-2)\forall \alpha \in \ker \sigma, \sigma\alpha = \mathbf 0.而\sigma \mathbf 0=\mathbf 0,即\sigma(\sigma\alpha)=\mathbf 0.即\sigma\alpha \in \ker \sigma. \therefore \sigma V是\sigma-不变子空间.\\ &3)若\sigma和\phi是可交换的,那么\sigma V和\ker \sigma 是\phi-子空间.(反过来也成立)\\ &(3-1)\forall \alpha=\sigma\beta \in \sigma V, \phi\alpha=\phi(\sigma\beta)=(\phi\sigma)\beta=(\sigma\phi)\beta=\sigma(\phi\beta)\in\sigma V. \therefore \sigma V是\sigma-不变子空间.\\ &(3-2)\forall \alpha\in\ker\sigma,\sigma\alpha=\mathbf 0,那么\phi\sigma\alpha=\mathbf 0.即\sigma(\phi\alpha)=0.那么\phi\alpha \in \ker \sigma. \therefore\sigma V是\sigma-不变子空间.\\ &4)任意子空间是数乘变换的不变子空间.\\ &(4)\forall \alpha \in W, \kappa\alpha=k\alpha\in W. (线性空间对数乘封闭)\\ &5)\sigma属于\lambda_i的全部特征向量\xi张成的线性空间是V_{\lambda_i}子空间. \\ &容易知,\sigma在特征子空间上为数乘变换.\\ &6)不变子空间的交和并仍然是不变子空间.\\ &7)W=L(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s),W是\sigma-不变子空间的充要条件是\sigma\alpha_1, \sigma\alpha_2, \dots, \sigma\alpha_n 全属于W. \end{aligned}
一个证明
\begin{aligned} &\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s是线性变换A的全部特征值. \\ &f(\lambda)=\prod_{i=1}^s (\lambda-\lambda_i)^{r_i}.\\ &\begin{split} 试证:\\ &V=V_1\oplus V_2\oplus...\oplus V_s.\\ &其中V_i=\{\left.\xi \right| (A-\lambda_iE)^{r_i}\xi=0,\xi\in V \}.\\ &i=1,2,\dots,s. \end{split} \end{aligned}
\begin{split} 证明:\\ &(由\text{Hamilton-Cayley}定理,f(A)=O.)\\ &设f_i(\lambda)=f(\lambda)/(\lambda-\lambda_i)^{r_i}.\\ &显然,V_i=f_i(A)V.\\ &(A-\lambda_iE)^{r_i}V_i = f(A)V=\{\bf0\}.\\ &下面先证明,V=V_1+V_2+\dots+V_s.\\ &显然,(f_1(\lambda), f_2(\lambda), \dots,f_s(\lambda)) = 1.\\ &故而\exists u_1(\lambda), u_2(\lambda), \dots, u_s(\lambda),\\ &\text{s.t.} u_1(\lambda)f_1(\lambda)+u_2(\lambda)f_2(\lambda)+\dots+u_s(\lambda)f_s(\lambda)=1.\\ &令\lambda=A,那么:\\ &u_1(A)f_1(A)+u_2(A)f_2(A)+\dots+u_s(A)f_s(A)=E.\\ &取\alpha\in V.上式两边右乘\alpha.\\ &u_1(A)f_1(A)\alpha+u_2(A)f_2(A)\alpha+\dots+u_s(A)f_s(A)\alpha=\alpha.\\ &由于u_i(A), f_i(A)可交换,故f_i(A)V是u_i(A)-不变子空间.\\ &u_i(A)(f_i(A)V) \in f_i(A)V. i = 1,2,\dots, s.\\ &那么上式中的u_i(A)f_i(A)\alpha 分别属于 V_1, V_2, \dots, V_s.\\ &这就证明了 V = V_1 + V_2 + \dots + V_s.\\ &下面接着证明 V=V_1\oplus V_2\oplus...\oplus V_s:\\ &而这只需证明零元素的表出方式唯一.\\ &取一组\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_s 分别属于 V_1, V_2, \dots, V_s,它们的和为零元素.\\ &由于它们的和是V中元素,所以这样的一组向量总能找到.\\ &即\beta_1 + \beta_2 + \dots + \beta_s = \bf 0 \cdots (\#) \\ &对于 i \ne j\in\{1,2,\dots,s\},有(\lambda-\lambda_j)^{r_j} | f_i(\lambda).\\ &又\because (A-\lambda_jE)^{r_j}\beta_j = 0, \therefore f_i(A)\beta_j = \bf 0.\\ &对(\#)式两边左乘f_i(A),可得f_i(A)\beta_i=\bf 0.\\ &我们下一步要得到\beta_i为\bf 0.\\ &注意到(f_i(\lambda), (\lambda - \lambda_i)^{r_i}) = 1.\\ &那么\exists u(\lambda), v(\lambda). \text{s.t.} u(\lambda)f_i(\lambda) + v(\lambda)(\lambda - \lambda_i)^{r_i}=1.\\ &同样用\lambda = A代入,并且将其作用于\beta_i上.\\ &\begin{split} \beta_i &= u(\lambda)f_i(\lambda)\beta_i + v(\lambda)(\lambda - \lambda_i)^{r_i}\beta_i\\ &= \bf {0}. \\(i=1,2,\dots,s) \end{split}\\ &故零元素的表法唯一.即得证. \end{split}
Euclidean Space
Cauchy-Bunjakovski不等式
也就是柯西不等式在 n维欧几里得空间下的推广:
\left( \vec a, \vec b \right)^2 \le \left( \vec a, \vec a \right) \left( \vec b, \vec b\right), 当且仅当\vec a和\vec b线性相关时取“=”。
度量矩阵
我们为了形式化地表示n维线性空间下向量 $\vec a 和 \vec b$之间的内积,而引入度量矩阵的概念.
\begin{aligned} &a = x_1\epsilon_1+ x_2\epsilon_2 + \dots + x_n\epsilon_n,\\ &b = y_1\epsilon_1+ y_2\epsilon_2 + \dots + y_n\epsilon_n.\\ &\\ &记X=(x_1, x_2, \dots, x_n), Y = (y_1, y_2, \dots, y_n).\\ & A = \left( \begin{array}{ccc} (\epsilon_1, \epsilon_1) &(\epsilon_1, \epsilon_2) & \dots &(\epsilon_1, \epsilon_n)\\ (\epsilon_2, \epsilon_1) &(\epsilon_2, \epsilon_2) & \dots &(\epsilon_2, \epsilon_n)\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ (\epsilon_n, \epsilon_1) &(\epsilon_n, \epsilon_2) &\dots &(\epsilon_n, \epsilon_n) \end{array} \right).\\ &\\ &a \cdot b = X^TAY. \end{aligned}
谢谢博主分享 明年上大一刚好要学线代