\begin{aligned} &x_n, y_n \ge 0,试证明:\overline{\lim_{n\to\infty}}(x_ny_n)\le \overline{\lim_{n\to\infty}}x_n\cdot \overline{\lim_{n\to\infty}}y_n.\\ \\ &证明:\\ &设x_n的上极限为H_1,y_n的上极限为H_2.\\ &\forall \epsilon>0, \exists N, \forall n>N, x_n < H_1 + \epsilon, y_n < H_2 + \epsilon.\\ &x_ny_n < (H_1+\epsilon)(H_2+\epsilon) = H_1H_2 + (H_1+H_2)\epsilon + \epsilon^2.\\ &从而:\overline{\lim_{n\to\infty}}(x_ny_n) \le H_1H_2 + (H_1+H_2)\epsilon + \epsilon^2.\\ &由于\epsilon的任意性,\epsilon\to0^+,\\ &\overline{\lim_{n\to\infty}}(x_ny_n) \le H_1H_2 = \overline{\lim_{n\to\infty}}x_n\cdot \overline{\lim_{n\to\infty}}y_n. \end{aligned}