数学经典问题(2)

\begin{aligned}
&x_n, y_n \ge 0，试证明：\overline{\lim_{n\to\infty}}(x_ny_n)\le
\overline{\lim_{n\to\infty}}x_n\cdot
\overline{\lim_{n\to\infty}}y_n.\\
\\
&证明：\\
&设x_n的上极限为H_1，y_n的上极限为H_2.\\
&\forall \epsilon>0, \exists N, \forall n>N, x_n < H_1 + \epsilon, y_n < H_2 + \epsilon.\\
&x_ny_n < (H_1+\epsilon)(H_2+\epsilon) = H_1H_2 + (H_1+H_2)\epsilon + \epsilon^2.\\
&从而：\overline{\lim_{n\to\infty}}(x_ny_n) \le H_1H_2 + (H_1+H_2)\epsilon + \epsilon^2.\\
&由于\epsilon的任意性，\epsilon\to0^+,\\
&\overline{\lim_{n\to\infty}}(x_ny_n) \le H_1H_2 = \overline{\lim_{n\to\infty}}x_n\cdot
\overline{\lim_{n\to\infty}}y_n.
\end{aligned}