1 依赖
阅读本文你需要：
- 学过一点微分方程
- 脑子
2 写在前面
最近在阅读 Stein 的分析四部曲，Real Analysis 读到 Hilbertian Space 有点读不下去了，破案了原来是我代数没好好学。于是又开始从 Fourier Analysis 读起。这篇文章就取自于 Fourier Analysis 的第一章。Stein 本人是建议，如果想要快速开始傅里叶分析的学习，可以直接跳过第一章，开始第二章，不过我还是读了下去，然后欣喜地发现——第一章非常精彩。它解决了我长久以来的一个疑惑：傅里叶是怎么想出傅里叶级数的？
历史上，傅里叶是研究热传导方程后开始了傅里叶级数的研究。（实际上在他之前已经有几位数学家，例如欧拉、拉格朗日，提出过类似的命题）这在这本 Fourier Analysis 中也有涉及。不过我在这里仅介ban绍yun从波动方程，“变出”傅里叶级数的方法。
3 波动方程
波动方程是形如：
\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}=c^2\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}.的一类偏微分方程。不失一般性，我们可以作变量代换让上面的方程变为下面的形式，以简化问题：
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.其中 $0\le x\le \pi$ 代表位置，$0\le t$ 代表时间。那么，如何解决这样的问题呢？有两种简单的思路。
3.1. 转化为行波
作变量代换：
\eta=x+t, \xi = x-t.
由链式法则立刻有：
\begin{aligned}
u(x,t)&=v(\eta,\xi)\\&=u((\eta+\xi)/2, (\eta-\xi)/2).\\
v_\eta&=u_x/2+u_y/2.\\
v_{\eta\xi}&=u_{xx}/4-u_{xy}/4+u_{yx}/4-u_{yy}/4\\
&=(u_{xx}-u_{yy})/4=0.
\end{aligned}于是：
\int\int{v_{\eta\xi}}\mathrm{d}\eta\mathrm{d}\xi=\int\int{0}\mathrm{d}\eta\mathrm{d}\xi=F(\eta)+G(\xi).将 $x, t$ 代回：
u(x,t)=F(x+t)+G(x-t).
注意到这里的 $F, G$ 是任意的一阶可微函数，并且根据物理意义可以自然地进行奇延拓。这个式子的意义就是，波动方程的解是两个波速相同（为1），方向相反的行波的叠加。
3.2. 转化为驻波
我们接下来考虑这种形式的方程解：
u(x,t)=\psi(x)\phi(t).
这被称为变量分离法。将上式代入我们的波动方程：
\psi''\phi=\phi''\psi.
假设 $\psi, \phi > 0$，则可得：
\frac{\psi''}{\psi}=\frac{\phi''}{\phi}.由于该式左边为关于 $x$ 的函数，右边为关于 $t$ 的函数，若要该式恒成立：
\exists \lambda, s.t. \frac{\psi''}{\psi}=\frac{\phi''}{\phi}=\lambda.我们获得一组方程：
\left\{
\begin{array}{}
\psi''-\lambda\psi=0,\\
\phi''-\lambda\phi=0.& \\
\end{array}
\right. 由于波函数起源于实际问题，实际上我们有隐含的条件：
u(0,t)=u(\pi,t).
故而上述方程组中我们要求 $\lambda<0$，且 $\sqrt{-\lambda}\in\mathbb{Z}$，
\begin{aligned}
&\text{令} -m^2 \text{ 表示 }\lambda, \text{ 最终的解为：}\\
&\left\{
\begin{array}{}
\psi(x)=\hat{C}\sin{mx}, &m\in\mathbb{Z}.\\
\phi(t)=C_1\sin{mt}+C_2\cos{mt},& \\
\end{array}
\right.\\
\end{aligned}注意到上面的解对于每一个 $m$ 均为该方程的通解，我们知道微分方程的解可以表示为所有通解的线性组合，于是我们猜测，方程的解有如下的级数形式（先不考虑敛散性）：
u(x,t)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}(A_m\sin{mt}+B_m\cos{mt})\sin{mx}.令 $t=0$，我们猜测：
\begin{aligned}
u(x,t)&=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\hat{A_m}\sin{mx}\\
&=F(x)+G(x)=f(x).
\end{aligned}根据 $f(x)$ 的任意性，和波动方程的物理意义，我们猜测，上述方程可以对任意 $[-\pi, \pi]$ 上的奇函数满足。我们进一步猜测，任意的奇函数可以表示为正弦级数。类似地，猜测对任意偶函数，存在这样的余弦级数展开：
\begin{aligned}
g(x)&=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\tilde{A_m}\cos{mx}.\\
\end{aligned}于是，由于任意函数都可以表示成奇函数与偶函数的叠加，我们最终猜测，任意函数有如下形式的三角级数展开：
h(x)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}(A_m\cos{mx}+B_m\sin{mx})如果对上面这个结果感兴趣，不妨去翻一翻 Stein 书第一章最后的热传导方程部分。这里就不详细介绍。
结语
确实，如读者所见，这篇文章（包括 Stein 本人的原文），并没有涉及到硬核的数学证明，整篇文章充满了各种猜测，详细的证明被作者留到了第二章介绍。但我依然认为第一章介绍的这些，是具有启发性、趣味性的、无比精彩的内容。
小时候看这集的时候蛇天花板上被我妈揍了
我也。